Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais

Números naturais (ℕ)

São os números usados para contar. Começam no zero e não têm fim.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

O asterisco indica que o zero foi retirado: ℕ* = {1, 2, 3, …}. Nos naturais, a subtração nem sempre é possível: 2 − 5 não tem resultado em ℕ.

Números inteiros (ℤ)

São os naturais acrescidos dos seus opostos negativos. Com eles, toda subtração tem resultado.

ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

• ℤ* — inteiros sem o zero.
• ℤ₊ — inteiros não negativos: {0, 1, 2, …}.
• ℤ₋ — inteiros não positivos: {…, −2, −1, 0}.

Números racionais (ℚ)

São todos os números que podem ser escritos como uma fração de inteiros, com denominador diferente de zero.

ℚ = { a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0 }

• Inteiros: 5 = 5/1 e −3 = −3/1.
• Frações: 2/3, −7/4.
• Decimais finitos: 0,75 = 3/4.
• Dízimas periódicas: 0,333… = 1/3 e 0,444… = 4/9.

Números irracionais (𝕀)

São os números que não podem ser escritos como fração. Na forma decimal, têm infinitas casas sem repetição de período.

• Raízes não exatas: √2 = 1,41421…, √3, √5, √7.
• O número π = 3,14159…
• O número de Euler, e = 2,71828…

Nem toda raiz é irracional: √9 = 3 e √16 = 4 são números naturais.

Números reais (ℝ)

É a união dos racionais com os irracionais. Todo número que pode ser marcado na reta numérica é real.

ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Alguns números não são reais, como √−4. Eles pertencem ao conjunto dos números complexos (ℂ), estudado no Ensino Médio.

Como os conjuntos se relacionam

Cada conjunto está contido no seguinte. Racionais e irracionais não têm elementos em comum, e juntos formam os reais.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e 𝕀 ⊂ ℝ, ℚ ∩ 𝕀 = ∅

Como classificar um número

1. 1Simplifique o número, se possível (por exemplo, √9 = 3).
2. 2É natural? Então também é inteiro, racional e real.
3. 3É inteiro negativo? Então é inteiro, racional e real.
4. 4Pode ser escrito como fração (inclui decimais finitos e dízimas periódicas)? É racional e real.
5. 5Tem infinitas casas decimais sem período? É irracional e real.