Progressões

Soma dos termos de uma progressão: fórmulas e exemplos

Ebenezer SilvaEbenezer SilvaEntusiasta da matematica e desenvolvedor do SOS Matematica

Somar muitos termos de uma sequência sem fórmula é trabalhoso. As progressões possuem fórmulas que resolvem essa soma rapidamente.

5 min de leituraAtualizado em 2026

Soma dos termos de uma P.A.

S(n) = [a(1) + a(n)] × n ÷ 2

A fórmula parte de uma ideia simples: somando o primeiro com o último termo, o segundo com o penúltimo e assim por diante, todos os pares têm o mesmo valor.

Termos de uma sequência unidos em pares que somam sempre o mesmo valor
O truque de Gauss: parear as pontas sempre dá a mesma soma.

Exemplo

Soma dos 10 primeiros múltiplos de 3: S = (3 + 30) × 10 ÷ 2 = 165.

Soma dos termos de uma P.G. finita

S(n) = a(1) × (q^n − 1) ÷ (q − 1)

Exemplo

Para a(1) = 2, q = 3 e n = 4: S = 2 × (81 − 1) ÷ 2 = 80.

Soma da P.G. infinita

Quando a razão está entre −1 e 1, os termos ficam cada vez menores e a soma se aproxima de um valor finito.

S = a(1) ÷ (1 − q), com |q| < 1

Resumo das fórmulas

  • P.A.: S(n) = [a(1) + a(n)] × n ÷ 2.
  • P.G. finita: S(n) = a(1) × (q^n − 1) ÷ (q − 1).
  • P.G. infinita: S = a(1) ÷ (1 − q).

Exercícios de somas de termos

Escolha uma alternativa e clique em corrigir para ver a resolução comentada.

  1. 01A soma dos 50 primeiros números naturais positivos é:

  2. 02Em uma P.G. com a(1) = 1, q = 2 e n = 5, a soma dos termos é:

  3. 03A soma da P.G. infinita com a(1) = 9 e q = 1/3 é: