Progressão Geométrica (PG): Formação, Fórmulas e Propriedades

As Progressões Geométricas (PG) são sequências matemáticas que desempenham um papel importante em diversas áreas da matemática, ciência e engenharia. Elas são caracterizadas por uma razão constante entre seus termos, o que as torna objetos de estudo essenciais. Neste artigo, exploraremos a formação da PG, suas propriedades, fórmulas relevantes e mostraremos como calcular a soma da PG e encontrar o n-ésimo termo da sequência.

Como se dá a formação de uma PG

Uma Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é calculado multiplicando o termo anterior por uma constante denominada razão, representada pela letra q.

a_n = a₁ . q^(n-1)

Onde:

• - a_n é o n-ésimo termo da PG.
• - a₁ é o primeiro termo da PG.
• - q é a razão comum entre os termos da sequência.
• - n é o termo que deseja encontrar na sequência

Razão da PG

A razão de uma Progressão Geométrica (PG) é um número que descreve como cada termo subsequente da sequência é obtido multiplicando o termo anterior, geralmente simbolizado por (q). Em outras palavras, a razão é a constante pela qual você multiplica um termo para chegar ao próximo termo na PG. Para calcular a razão de uma PG, basta dividir um termo pelo seu antecessor considerando-o sempre a partir do segundo termo, sendo assim, chegamos a seguinte a fórmula.

Onde:

• - q é a razão da PG.
• - a₁ é o primeiro termo da PG.
• - a₂ é o segundo termo da PG.

Exemplo:

Considerando a PG 2, 4, 8, 16, 32, 64 temos:

• a1 = 2
• a2 = 4

Utilizando a fórmula:

A razão da PG é 2

Classificações das PGs

As Progressões Geométricas (PGs) podem ser classificadas de diferentes maneiras com base em várias características. As principais classificações das PGs incluem:

Classificação pela razão (q):

• PG Crescente: Neste caso, a razão (q) é maior que 1, e os termos subsequentes são maiores que os termos anteriores. Por exemplo:

  PG: 2, 4, 8, 16, 32,..

• PG Decrescente: Quando a razão (q) está entre -1 e 0 (exclusivamente), os termos subsequentes são menores que os termos anteriores.Por exemplo:

  PG: 64, 32, 16, 8,…

• PG Constante: Se a razão (q) for igual a 1, todos os termos da sequência são iguais, e a sequência não muda. Por exemplo:

  PG: 1, 1, 1, 1, 1,..

Soma da PG

Soma dos primeiros (n) termos da PG finita

Para calcular a soma dos primeiros n termos de uma PG, podemos usar a fórmula:

Exemplo:

Considerando a PG 2, 4, 8, 16, 32, 64 de razão, q = 2 e a₁ = 2 vamos calcular a soma de seus termos utilizando a fórmula.

Soma infinita da PG

Quando a razão (q) está no intervalo -1 < q < 1 a soma infinita de uma PG pode ser calculada usando a fórmula:

Exemplo:

Considere a PG com a₁ = 5 e q = 1/2. Neste caso, a razão (q) está no intervalo -1 < q < 1, o que significa que a soma infinita é convergente. Para calcular a soma infinita (S) desta PG utilizando a fórmula, temos que:

Sendo assim a soma da PG com a₁ = 5 e q = 1/2 é igual a 10