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Progressão Geométrica: termo geral, soma e classificação

Progressão geométrica é uma sequência na qual cada termo a partir do segundo é obtido pela multiplicação do anterior pelo termo constante conhecido como razão. Para representar a razão, é geralmente utilizada a letra q.

Termo geral da progressão geométrica (PG)

O termo geral ou (n-ésimo termo) de uma progressão geométrica (PG) é dado pela fórmula:

an = a1 . q(n-1)

Onde:

  • - an é o n-ésimo termo da PG.
  • - a1 é o primeiro termo da PG.
  • - q é a razão comum entre os termos da sequência.
  • - n é o termo que deseja encontrar na sequência

Razão da PG

A razão da progressão geométrica é o fator comum pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo termo na sequência.

Para determinar a razão de uma progressão geométrica, basta dividir o segundo termo (a2) pelo primeiro termo (a1) como mostra a fórmula abaixo.

Formula de cálculo da razão da PG

Exemplo:

Considerando a PG 2, 4, 8, 16, 32, 64 temos:

  • a1 = 2
  • a2 = 4

Utilizando a fórmula:

A razão da PG é 2

Classificações das Progressões Geométricas

As Progressões Geométricas (PG) podem ser classificadas de diferentes maneiras com base em várias características. As principais classificações das PG incluem:

Classificação pela razão (q):

  • PG Crescente: Neste caso, a razão (q) é maior que 1, e os termos subsequentes são maiores que os termos anteriores. Por exemplo: PG: 2, 4, 8, 16, 32, …
  • PG Decrescente: Quando a razão (q) está entre -1 e 0 (exclusivamente), os termos subsequentes são menores que os termos anteriores. Por exemplo:PG: 64, 32, 16, 8, …
  • PG Constante: Se a razão (q) for igual a 1, todos os termos da sequência são iguais, e a sequência não muda. Por exemplo:PG: 1, 1, 1, 1, 1, …

Soma da PG

Soma dos primeiros (n) termos da PG finita

Para calcular a soma dos primeiros n termos de uma PG, podemos usar a fórmula:

Exemplo:

Considerando a PG 2, 4, 8, 16, 32, 64 de razão, q = 2 e a1 = 2 vamos calcular a soma de seus termos utilizando a fórmula.

Soma infinita da PG

Quando a razão (q) está no intervalo -1 < q < 1 a soma infinita de uma PG pode ser calculada usando a fórmula:

Exemplo:

Considere a PG com a1 = 5 e q = 1/2. Neste caso, a razão (q) está no intervalo -1 < q < 1, o que significa que a soma infinita é convergente. Para calcular a soma infinita (S) desta PG utilizando a fórmula, temos que:

Sendo assim a soma da PG com a1 = 5 e q = 1/2 é igual a 10