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Progressão Aritmética (P.A): Definição, propiedades, exemplos

A Progressão Aritmética (PA) é um dos conceitos fundamentais da matemática, com aplicações profundas e diversas em inúmeros aspectos da vida cotidiana. Neste artigo, exploraremos o que é uma Progressão Aritmética, forneceremos exemplos para ilustrar seu funcionamento e discutiremos como ela é aplicada em diferentes áreas da vida real.

Definição

Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre constante. Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética e é representada pela letra r. Formalmente, uma Progressão Aritmética é definida pela fórmula do termo geral:

Termo geral da progressão aritmética

Onde:

  • - an é o n-ésimo termo da sequência.
  • - a1 é o primeiro termo da sequência.
  • - n é o número do termo desejado.
  • - r é a razão da progressão.

Exemplos de Progressão Aritmética

Exemplo 1:

Vamos considerar uma Progressão Aritmética simples com a1 = 2 e r = 3. Neste caso, os primeiros cinco termos seriam:

  • a1 = 2
  • a2 = 2 + (2-1) . 3 = 5
  • a3 = 2 + (3-1) . 3 = 8
  • a4 = 2 + (4-1) . 3 = 11
  • a5 = 2 + (5-1) . 3 = 14

Portanto, a sequência gerada seria: 2, 5, 8, 11, 14.

Exemplo 2:

Agora, consideremos uma Progressão Aritmética com a1 = 10 e r = -2. Os primeiros cinco termos seriam:

  • a1 = 10
  • a2 = 10 + (2-1) . (-2) = 8
  • a3 = 10 + (3-1) . (-2) = 6
  • a4 = 10 + (4-1) . (-2) = 4
  • a5 = 10 + (5-1) . (-2) = 2

Portanto, a sequência gerada seria: 10, 8, 6, 4, 2.

Classificação de uma PA

As Progressões Aritméticas podem ser classificadas com base no valor da razão, sendo categorizadas da seguinte maneira:

  • 1. Constante: Nesse caso, a razão é igual a zero, como na sequência (2, 2, 2, 2, 2...), onde r = 0.
  • 2. Crescente: Quando a razão é maior que zero, a progressão aritmética é considerada crescente, como na sequência (1, 2, 3, 4, 5...), onde r = 1.
  • 3. Decrescente: Se a razão for menor que zero, a progressão é classificada como decrescente, como na sequência (5, 4, 3, 2, 1, 0, -1...), com r = -1.

Propiedades da PA

1ª Propiedade: A soma de dois termos equidistantes de uma PA finita, sempre será igual a soma de seus extremos.

Exemplo:
Imagem da propiedade 1 da P.A

2ª Propiedade: Ao considerar três termos consecutivos de uma Progressão Aritmética, o termo do meio é igual à média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:
Imagem da propiedade 2 da P.A

3ª Propiedade: Em uma Progressão Aritmética finita com um número ímpar de termos, o termo central será igual à média aritmética entre termos que estão igualmente distantes dele. Essa característica é uma derivação da 1ª propiedade.

Exemplo:
Imagem da propiedade 3 da P.A

Soma dos termos de Uma P.A finita

Para calcular a soma dos termos de uma Progressão Aritmética finita, basta aplicar a seguinte fórmula:

Imagem da propiedade 3 da P.A

Onde:

  • - Sn representa a soma dos termos da PA .
  • - a1 é o primeiro termo da PA.
  • - an é a enésima posição da PA.
  • - n é posição do termo.
Exemplo:

Vamos tomar como exemplo a nossa última PA: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 com nove termos:

Exemplo de soma dos termos da PA